Trigonometria a 1r de BAT

Trigonometria

Provinent de la llengua grega, la paraula trigonometria significa "mesura de triangles". Inicialment, la trigonometria tractava les relacions entre els costats i els angles dels triangles i es va utilitzar en el desenvolupament de l'astronomia, la navegació i la topografia. Amb el desenvolupament del càlcul i les ciències físiques al segle XVII, va sorgir una perspectiva diferent que veu les raons trigonomètriques clàssiques com funcions amb el conjunt dels nombres reals com els seus dominis. En conseqüència, les aplicacions de la trigonometria s'han ampliat per incloure a un gran nombre de fenòmens físics que impliquen rotacions i vibracions. Entre aquests fenòmens s'inclouen les ones de so, els raigs de llum, òrbites planetàries, cordes vibrants, pèndols, i les òrbites de les partícules atòmiques.

Dioptra

Pots començar amb aquesta Introducció històrica .

Preparat? Vinga, doncs: Trigonometria !!!!!!!!!!!!!!!

Introducció històrica

Measurement of the Earth's circumference

On the Sizes and Distances (Aristarchus)

El metro, el meridiano de París y Barcelona

Ingeniería Romana. Cap.1 Acueductos

Trigonometria

  1. Angles
  2. Mesurar angles en graus
  3. Mesurar angles en radians
  4. Equivalència entre graus i radians
  5. Mesura principal d'un angle
  6. Raons trigonomètriques d'un angle agut
  7. Resolució de triangles rectangles
  8. Raons trigonomètriques d'un angle qualsevol
  9. Línies trigonomètriques
  10. Reducció al primer quadrant
  11. Relació entre les raons trigonomètriques d'angles oposats
  12. Relació entre les raons trigonomètriques d'angles complementaris
  13. Raons trigonomètriques dels angles importants
  14. Relacions entre les raons trigonomètriques d'un mateix angle
  15. Resolució de triangles obliquangles

Mesurar angles en graus

Una unitat per mesurar angles és el grau, denotat amb el símbol . L'angle que fa una volta sencera mesura 360 . Un angle de 1 és 1360 part d'una volta sencera o de l'angle complet.

Pots veure a continuació alguns angles en posició estàndard mesurats en graus:

angle

Pots modificar el valor de l'angle i veure'l en posició estàndard.


Exercicis:

Mesurar angles en radians

A més dels graus sexagesimals que ja coneixes, hi ha una altra unitat per mesurar els angles. És el radian o radiant (rad).


Si fem coincidir el vèrtex d'un angle amb el centre d'una circumferència, l'angle determina en la circumferència un arc.

DEFINICIÓ

Un angle d'un radian és un angle θ que intercepta en una circumferència un arc s que té la mateixa longitud que el radi r amb el que s'ha traçat.

radian
arc=radiθ=1 rad

radian La longitud l d'una circumferència és l=2πr. És a dir, l'arc corresponent a un angle complet fa s=2πr , això és, 2π vegades el radi. Per tant, l'angle complet té una mesura de 2π rad.

Com que 2π6.28, una circumferència sencera conté més de 6 vegades la longitud del radi.


D'aquesta manera, la relació que hi ha entre un angle θ en radians i la longitud s de l'arc associat ve donada per: s=θr


És a dir, la longitud d'un arc de circumferència és igual a l'angle mesurat en radians multiplicat per la longitud del radi.


RECORDA

Les tres versions d'aquesta fórmula.
s=θr θ=sr r=sθ
s longitud de l'arc θ mesura en radians de l'angle r radi de la circumferència

Aquí pots veure la mesura en radians d'alguns dels angles més habituals.

radian
Sempre que es pugui, el angles en radians els expressarem com a múltiples o fraccions de π. Per exemple: 5π,3π2,π9.

Ves modificant els valors del radi i de la longitud de l'arc i observa com va canviant el valor de l'angle.

Exercicis:

Equivalència entre graus i radians

Ja saps que un angle complet mesura 360º o 2π rad. Així, ja tens l'equivalència:

360 =2π rad.

Qualsevol fracció o múltiple d'aquesta equivalència també ho serà. Per tant:

180 =π rad fent la meitat de l'anterior
60 =π3 rad fent un terç de l'anterior
120 =2π3 rad fent el doble de l'anterior


Altres vegades caldrà donar valors aproximats: 41º = 0.7156 rad, 128º = 2.2340 rad.


En general, per passar de graus a radians pots multiplicar per πrad180 i per fer-ho de radians a graus per 180 πrad.


Exercicis:

Mesura principal d'un angle

Trobar la mesura principal d'un angle

Mirant els angles com a girs també té sentit parlar d'angles de més de 360º. Un angle de 400º entenem que vol dir que s'ha girat una volta sencera i 40º de la volta següent.


L'angle de 390º queda en la mateixa posició que el de 30º, el de -150º que el de 210º i el de -380º que el de 340º. Fer aquestes equivalències és el que en diem reduir un angle al primer gir o trobar la mesura principal de l'angle. És a dir, donat un angle es tracta de trobar-ne un altre de positiu i menor de 360º que tingui el mateix costat final.


Cal fer una divisió entera per 360º per conèixer el quocient enter (seran les voltes senceres) i el residu (l'angle reduït al primer gir). Si l'angle és negatiu has de fer alguna cosa més.



Exercici:

Raons trigonomètriques d'un angle agut


Exercicis:

Resolució de triangles rectangles

Les eines que disposem per resoldre qualsevol triangle rectangle són les següents:

Teorema de Pitàgores: a 2=b 2+c 2

Els angles aguts sumen 90º : B+C=90º

Les raons trigonomètriques dels angles aguts:

sinB=ba;cosB=ca;tanB=bc

sinC=ca;cosC=ba;tanC=cb


Exercicis:

Raons trigonomètriques d'un angle qualsevol


Altres raons trigonomètriques

Les anteriors són les raons trigonomètriques més importants, però n'hi ha d'altres que també cal conèixer, són la cotangent, la secant i la cosecant.

Es defineixen així:

cot(x)=1tan(x)

sec(x)=1cos(x)

cosec(x)=csc(x)=1sin(x)

Fixa't que la cosecant es pot expressar de dues formes diferents: cosec(x) o csc(x).

Línies trigonomètriques

Cal veure que cada raó trigonomètrica té associat un segment, és el que anomenem línies trigonomètriques.



Reducció al primer quadrant

Les raons trigonomètriques de qualsevol angle es poden relacionar amb les d'un altre angle situat al 1r quadrant. La manera de fer-ho depèn del quadrant al que pertanyi l'angle.

Angle del 3r quadrant

Si α és un angle del 3r quadrant, les seves raons trigonomètriques es poden relacionar amb les d'un altre angle situat al 1r quadrant. Mira de entendre-ho a la següent figura. Pots modificar el valor de l'angle.

Els angles α i α180 difereixen en 180 . Per això les relacions anteriors també es coneixen com Relacions entre les raons trigonomètriques de dos angles que difereixen en 180 .

Angle del 2n quadrant

Si α és un angle del 2n quadrant, les seves raons trigonomètriques es poden relacionar amb les d'un altre angle situat al 1r quadrant. Mira de entendre-ho a la següent figura. Pots modificar el valor de l'angle.

Els angles α i 180 α són suplementaris donat que la seva suma és de 180 . Per això les relacions anteriors també es coneixen com Relacions entre les raons trigonomètriques de dos angles suplementaris.

Angle del 4t quadrant

Si α és un angle del 4t quadrant, les seves raons trigonomètriques es poden relacionar amb les d'un altre angle situat al 1r quadrant. Mira de entendre-ho a la següent figura. Pots modificar el valor de l'angle.


Relació entre les raons trigonomètriques d'angles oposats

Recorda que dos angles són oposats si la seva suma és 0 . Així, si un d'ells és α, l'altre serà α.

Exercici:

Relació entre les raons trigonomètriques d'angles complementaris

Recorda que dos angles són complementaris si la seva suma és 90 . Així, si un d'ells és α, l'altre serà 90 α.

Exercici:

Raons trigonomètriques dels angles importants


Raons trigonomètriques Raons trigonomètriques

Relacions entre les raons trigonomètriques d'un mateix angle

Atès que a la circumferència unitat sinα=y , cosα=x i tanα=yx, ja tenim la primera relació entre les raons trigonomètriques d'un mateix angle:

tanα=sinαcosα

Hi ha altres relacions anomenades Relacions Pitagòriques. Aplicant el Teorema de Pitàgores a cadascun dels triangles rectangle següents, tenim:

Relació fonamental de la Trigonometria

(sinα) 2+(cosα) 2=1 2

Relació fonamental de la Trigonometria

sin 2α+cos 2α=1

Relació de la Trigonometria

1 2+(tanα) 2=(secα) 2

1+tan 2α=sec 2α

Relació de la Trigonometria

1 2+(cotα) 2=(cosecα) 2

1+cot 2α=cosec 2α



Resolució de triangles obliquangles

Resoldre un triangle vol dir arribar a conèixer tots els seus elements, és a dir, els tres costats a, b i c, i els tres angles A, B i C.

Per poder resoldre un triangle hem de conèixer tres dels seus elements, entre els quals com a mínim hi ha d'haver un costat.

En un triangle qualsevol es compleix:


Figura 1

Mou els vèrtexs del triangle i observa que sempre la suma dels angles és 180º.

Figura 2

Modifica els valors de a, b i/o c i observa què passa si un costat és més gran o igual que la suma dels altres dos.

Figura 3

Mou els vèrtexs del triangle i comprova que al costat més petit s'hi oposa l'angle més petit i al costat més gran, l'angle més gran.

Teorema del cosinus

a 2=b 2+c 22bccosA

b 2=a 2+c 22accosB

c 2=a 2+b 22abcosC

Teorema dels sinus

Coneguts els tres costats

En aquest cas hem de trobar els tres angles A, B i C. La solució és única sempre que cada costat sigui més petit que la suma dels altres dos.


Exercici:

Coneguts dos costats i l'angle que formen

En aquest cas les dades conegudes venen donades per lletres diferents. Per exemple a, b, C.

Sempre trobarem una única solució.


Exercici:

Coneguts un costat i dos o tres angles

Si ens donen un costat i dos angles, el problema té solució única sempre que els dos angles sumin menys de 180º.

Si ens donessin un costat i els tres angles caldrà mirar si els angles sumen 180º. Si no fos així, el problema no tindria solució.


Exercici:

Coneguts dos costats i l'angle oposat a un d'ells

Aquest cas és el més complicat. Ens podem trobar amb situacions on no hi ha cap triangle possible, que n'hi hagi un sol o que n'hi hagi dos.

Així trobarem problemes sense solució, amb una única solució o amb dues solucions.

És interessant que juguis una mica amb diferents costats i diferents angles.


Exercici:

  1. Angles
  2. Mesurar angles en graus
  3. Mesurar angles en radians
  4. Equivalència entre graus i radians
  5. Mesura principal d'un angle
  6. Raons trigonomètriques d'un angle agut
  7. Resolució de triangles rectangles
  8. Raons trigonomètriques d'un angle qualsevol
  9. Línies trigonomètriques
  10. Reducció al primer quadrant
  11. Relació entre les raons trigonomètriques d'angles oposats
  12. Relació entre les raons trigonomètriques d'angles complementaris
  13. Raons trigonomètriques dels angles importants
  14. Relacions entre les raons trigonomètriques d'un mateix angle
  15. Resolució de triangles obliquangles

angles, raons trigonomètriques, resolució de triangles.
: , interactive mathematics, interactive math, server side interactivity

The most recent version