Funcions a 1r de BAT

Funcions

En molts fenòmens quotidians ens trobem diverses magnituds que estan relacionades entre elles. Per exemple:

Sovint, la relació entre aquestes magnituds és tan forta que els valors d'una determinen els valors de l'altra. Aquestes relacions són sovint representades per expressions matemàtiques i ens porten al concepte de funció.

I, estudiant les funcions, podrem trobar quins valors d'una fan que creixi o decreixi l'altra, quin/s valor/s d'una ens porten a màxims o mínims de l'altra, quins valors d'una fan que l'altra creixi o decreixi més ràpidament o més lentament, ... qüestions totes elles molt interessants en moltes branques de la ciència i la societat.

funció

Preparat? Vinga, doncs: Funcions .

Funcions

  1. Concepte de funció.
  2. Domini i recorregut d'una funció
  3. Funcions algèbriques
  4. Operacions amb funcions (En obres)
  5. Funció composta (En obres)
  6. Funció inversa

Concepte de funció.

Aquestes magnituds que hem dit que estan relacionades poden ser constants o variables (prenen valors diferents). Evidentment les que ens interessa estudiar aquí són les variables, perquè en tant que varien podem trobar quin valor d'una fa que l'altra assoleixi un valor determinat, quin valor d'una fa que l'altra assoleixi un valor màxim, etc.

EXEMPLE

Quan anem amb un vehicle a una estació de servei a posar combustible (per exemple, gasoil, a 1.129 €/l) ens pot interessar estudiar la relació que hi ha entre les variables: preu que paguem i quantitat de combustible que posem. Hem de fixar-nos que aquestes dues variables no juguen el mateix paper en aquesta relació. Si l'estació és d'autoservei i disposa d'una màquina on dius quina quantitat de diners vols posar, la quantitat de combustible depèn de la quantitat de diners que diguis. És a dir, en aquesta situació diríem que:

  • la quantitat de diners és la variable independent
  • la quantitat de combustible és la variable dependent
Mentre que si a la màquina li hem de dir la quantitat de combustible que volem posar, llavors el preu que hem de pagar depèn de la quantitat de combustible que hem decidit posar. Diríem que, ara, en aquesta nova situació:
  • la quantitat de combustible és la variable independent
  • la quantitat de diners és la variable dependent
Així que el tipus de variable (dependent o independent) no és una característica pròpia de la variable sinó del paper que hi juga en cada relació.

DEFINICIÓ

Aquesta relació de dependència entre dues variables diem que és una funció si a cada valor real de la variable independent li correspon un únic valor de la variable dependent.

Normalment anomenen x la variable independent, i y la variable dependent.

De fet quan diem que hi ha una relació entre les magnituds, el que passa realment és que la relació es dóna entre els valors d'aquestes magnituds, i aquests valors formen conjunts numèrics. És per això que sovint parlem de funció del conjunt A al conjunt B. Així, doncs, una funció la representem

f: AB
xy=f(x)

f és el nom que li donem a la funció, A és el conjunt de valors que pren la variable independent i B és el conjunt que conté els valors que pren la variable dependent. El conjunt A s'anomena domini de la funció, D f o D(f); i el B conté el recorregut, R f o R(f), que és el conjunt de valors que pren la variable dependent.

L'expressió y=f(x) (es llegeix: y és igual a efe d' x) indica que y és funció de (depèn de) x. Diem que y és la imatge d' x i que x és l'antiimatge d' y per la funció f.

Per ajudar a entendre aquests conceptes, observa a la figura següent, la funció que relaciona el temps del dia (en hores) amb la temperatura (en ºC).

funció
Podem dir que la imatge de 5 és 12, i ho expressem: f(5)=12. Fixa't que trobar la imatge de 5, en aquesta funció, és respondre la pregunta: quina temperatura feia a les 5 h?

També, que l'antiimatge de 13 és 2, i ho expressem: f 1(13)=2, però, f 1(15)={3,4}. Trobar antiimatges de 10, és respondre la pregunta: a quina/es hores feia una temperatura de 10 ºC?

Aquesta funció també la podem tenir definida pel conjunt de parells ordenats, en els que la primera coordenada ( x) és el valor de la variable independent i la segona coordenada ( y) és el valor de la variable dependent.

{(1,9),(2,13),(3,15),(4,15),(5,12),(6,10)}

RECORDA

Característiques d'una funció d'un conjunt A a un conjunt B.

  • Cada element d' A ha de tenir una imatge a B.
  • Alguns elements de B poden no tenir antiimatge a A.
  • Dos o més elements d' A poden tenir la mateixa imatge a B.
  • Un element d' A no pot tenir dues o més imatges a B.

Domini i recorregut d'una funció

Ja hem comentat en un apartat anterior què és el domini d'una funció agafant com a exemple la funció que relaciona el temps del dia (en hores) amb la temperatura (en ºC).

funció
Només ens cal formalitzar-ho.

DEFINICIÓ

El conjunt de tots els valors reals de la variable independent que tenen per imatge un nombre real s'anomena domini de la funció, i l'expressem D f o D(f).

En altres paraules, el domini d'una funció són tots els valors de la variable independent que tenen imatge.

DEFINICIÓ

El recorregut, R f o R(f), és el conjunt de valors que pren la variable dependent, això és, el conjunt de totes les imatges. També s'anomena rang.

En altres paraules, el recorregut d'una funció són tots els valors de la variable dependent que tenen antiimatge, es a dir, que són imatge d'algun valor del domini.


EXEMPLE

funció

Practica amb el següent Exercici


RECORDA

El domini fa referència a valors de la variable independent x, així , en un gràfic els tenim a l'eix d'abscisses (l'horitzontal), mentre que el recorregut el formen els valors de la variable dependent y, així , en un gràfic els tenim a l'eix d'ordenades (el vertical).

funció

Practica amb el següent Exercici


Molt sovint ens cal esbrinar el domini de funcions donades amb la seva expressió algèbrica. Pot ser que hi hagi alguna operació que no es pugui fer amb determinats nombres. Recordem que no es pot dividir per zero i que no són nombres reals les arrels d'índex parell de nombres negatius.

EXEMPLE

funció
En aquest cas les operacions que interven, sumes, productes, ... les podem fer amb qualsevol nombre real i el resultat serà també un nombre real. És per això que el domini són tots els nombres reals, D f=.

EXEMPLE

funció
En aquest cas hi ha una divisió. Si per trobar la imatge d'algun nombre real cal dividir per 0 no ho podrem fer i aquest nombre no tindrà imatge i per tant no serà del domini. Hem de mirar el denominador i esbrinar quin/s valor/s fan que valgui 0. És a dir, hem de resoldre l'equació x+4=0. La solució, x=4, no tindrà imatge, f(4)=180. Tots tindran imatge excepte 4. Per tant D f={4}. També ho podem expressar d'aquestes altres maneres:
D f={4}={x/x4}= ] - infty, -4 [ cup ]-4, + infty [

EXEMPLE

funció
En aquest cas hi ha una arrel d'índex parell. Si per trobar la imatge d'algun nombre real cal fer l'arrel quadrada d'un nombre negatiu, no ho podrem fer i aquest nombre no tindrà imatge i per tant no serà del domini. Hem de mirar el radicant (el que hi ha dins de l'arrel) i esbrinar quin/s valor/s fan que sigui positiu o 0. És a dir, hem de resoldre la inequació 63x0. Les solucions, x2, són els que tenen imatge, els altres no en tenen. Per exemple f(3)=633=3. Per tant D f= ] - infty, 2 [. També ho podem expressar d'aquesta altra manera:
D f={x/x2}= ] - infty, 2 [

Practica amb el següent Exercici

Funcions algèbriques

Anomenem funcions algèbriques aquelles funcions que es poden formar amb les operacions algèbriques habituals: addició, multiplicació, divisió, i càlcul d'arrels quadrades, cúbiques, ...

Les estudiem a continuació:

  1. Funcions polinòmiques
  2. funrac
  3. funirac

Funcions polinòmiques

Anomenem funcions polinòmiques les que tenen com a expressió algèbrica un polinomi. És a dir, f(x)=P(x), on P(x) és un polinomi.

Ja coneixes unes quantes funcions polinòmiques de cursos anteriors.

  1. Funció constant
  2. Funció lineal
  3. Funció afí
  4. Funció quadràtica
  5. Funció polinòmica de grau superior a 2 (en obres)

Funció constant

DEFINICIÓ

Anomenem funcions constants les que tenen com a expressió algèbrica f(x)=k, on k . El polinomi és de grau zero.


EXEMPLE


RECORDA

  • Les funcions constants tenen com a expressió algèbrica f(x)=k, on k.
  • Qualsevol nombre real té imatge, així que el seu domini és , és a dir, D f=.
  • Només k té antiimatge, és a dir, R f={k}.

Funció lineal

DEFINICIÓ

Anomenem funcions lineals les que tenen com a expressió algèbrica f(x)=kx, on k,k0 . El polinomi és de grau 1 i amb terme independent nul.


EXEMPLE


RECORDA

  • Les funcions lineals tenen com a expressió algèbrica f(x)=kx, on k,k0.
  • Quan k>0 la funció és creixent mentre que quan k<0 la funció és decreixent.
  • Qualsevol nombre real té imatge, així que el seu domini és , és a dir, D f=.
  • Qualsevol nombre real té antiimatge, és a dir, R f=.
  • Especialment interessant és la funció f(x)=x, anomenada funció identitat i expressada amb I(x)=x. El seu gràfic correspon a la bisectriu dels quadrants 1r i 3r.

    funció

  • També cal esmentar la funció f(x)=x. El seu gràfic correspon a la bisectriu dels quadrants 2n i 4t.

    funció

Funció afí

DEFINICIÓ

Anomenem funcions afins les que tenen com a expressió algèbrica f(x)=mx+n, on m,n,m,n0 . El polinomi és de grau 1 i amb terme independent no nul.


EXEMPLE


RECORDA

  • Les funcions afins tenen com a expressió algèbrica f(x)=mx+n, on m,n,m,n0.
  • Qualsevol nombre real té imatge, així que el seu domini és RR, és a dir, D f=.
  • Qualsevol nombre real té antiimatge, és a dir, R f=.

Funció quadràtica

DEFINICIÓ

Anomenem funcions quadràtiques les que tenen com a expressió algèbrica f(x)=ax 2+bx+c, on a,b,c,a0. El polinomi és de grau 2.


EXEMPLE


RECORDA

  • Les funcions quadràtiques tenen com a expressió algèbrica f(x)=ax 2+bx+c, on a,b,c,a0.
  • Qualsevol nombre real té imatge, així que el seu domini és RR, és a dir, D f=.
  • El gràfic d'una funció quadràtica és una paràbola.
  • Les branques de la paràbola van totes dues cap amunt quan a>0 i cap avall quan a<0.
  • El punt més important del gràfic és el vèrtex V=(v x,v y). Les seves coordenades es poden trobar així: l'abscissa v x=b2a i l'ordenada v y=f(v x)=f(b2a).
  • En x=v x la funció presenta un màxim quan a<0 i un mínim quan a>0.
  • No tots els nombres reals tenen antiimatge, és a dir, R f.
    Quan a>0R f= [ v y,+ [
    Quan a<0R f= ] ,v y ]

Funció polinòmica de grau superior a 2 (en obres)

DEFINICIÓ

Anomenem funcions constants les que tenen com a expressió algèbrica f(x)=k, on k . El polinomi és de grau zero.


EXEMPLE


RECORDA

  • Les funcions constants tenen com a expressió algèbrica f(x)=k, on k.
  • Qualsevol nombre real té imatge, així que el seu domini és , és a dir, D f=.
  • Només k té antiimatge, és a dir, R f={k}.

Funció inversa

Donada una funció f, la funció inversa de f és una altra funció, que representem per f 1, que desfà l'acció que ha fet f.

imatge imatge

Per exemple, si tenim una funció f que al 3 li assigna el 8, la seva funció inversa f 1 al 8 li assignarà el 3, Dit d'una altra manera, si la funció f passa pel punt (3,8), la seva funció inversa f 1 passarà pel punt (8,3).

També, si tenim una funció f que assigna imatges multiplicant per 3, és a dir, f(x)=3x, la seva funció inversa f 1 assignarà imatges dividint per 3, és a dir, f 1(x)=x3.

Concretant, això vol dir que si la imatge de 5 per f és 15, la imatge de 15 per f 1 ha de ser 5. Expressant-ho formalment:

f(5)=35=15 i f 1(15)=153=5.

Dit d'una altra manera, quan actua una funció darrera de l'altra (recorda: això és una composició de funcions) sobre el 5 obtenim el mateix 5.

(f 1f)(5)=f 1(f(5))=f 1(15)=5.

També:

(ff 1)(15)=f(f 1(15))=f(5)=15.

I això s'ha de complir no només per al 5 sinó per a qualsevol nombre real x.

(f 1f)(x)=f 1(f(x))=f 1(3x)=3x3=x.

També:

(ff 1)(x)=f(f 1(x))=f(x3)=3x3=x.

DEFINICIÓ

Diem que una funció f 1 és la inversa d'una altra f quan es compleixen:

  • (f 1f)(x)=x
  • (ff 1)(x)=x

Cal tenir en compte que hi ha funcions que no tenen inversa. I que si una funció f té inversa, la inversa d'aquesta inversa és la mateixa f. Ès a dir: (f 1) 1=f.

Càlcul de la funció inversa

En els casos més senzills podem trobar la funció inversa directament.

EXEMPLE

Troba la funció inversa de f(x)=8x. Després comprova que (f 1f)(x)=x i (ff 1)(x)=x.

Solució

Exercici: Càlcul de la funció inversa - I

Pot ser que ens interessi comprovar si una funció és inversa d'una altra.

EXEMPLE

Quina de les funcions g(x) o h(x) és la funció inversa de f(x)=3x3.

g(x)=x33h(x)=3x+3

Solució

Quan l'expressió de la funció f és més complexa, no és tan fàcil trobar l'expressió de la inversa. En aquests casos podem seguir els següents passos:

  1. Igualar l'expressió de la funció f(x) a y.
  2. Aïllar la x a la igualtat anterior.
  3. Canviar x per y i viceversa.
EXEMPLE

Troba la inversa de la funció f(x)=.

Solució

Si ens demanen que després de trobar la funció inversa comprovem que ho és, hem de comprovar, tal com hem fet als dos primers exemples, que:

(f 1f)(x)=x i (ff 1)(x)=x

Gràfic de la funció inversa

Ara ens interessa veure quina relació hi ha entre el gràfic d'aquestes dues funcions, f i f 1. Començarem dient que si f passa pel punt (5,15), llavors f 1 passa pel punt (15,5). És a dir, el punt amb les mateixes coordenades però canviades d'ordre. I això què suposarà pel que fa al gràfic?

En el gràfic següent s'ha construït un punt B amb les mateixes coordenades que un altre A però canviades de lloc. Mou el punt blau A i te n'adonaràs quina relació hi ha.

Així, doncs, podem dir que els gràfics de les funcions f i f 1 són simètrics respecte de la bisectriu del primer i tercer quadrants (la recta d'equació y=x).

imatge

Quines funcions no tenen inversa?

Ja hem dit que no totes les funcions tenen inversa. Però, quines són les que no en tenen?

Doncs aquelles que tenen algun/s valor/s de la variable dependent amb més d'una antiimatge. Perquè la seva inversa assignaria a aquest valor més d'una imatge i recordem que les funcions a cada valor de la variable independent els hi assignen un ÚNIC valor de la variable dependent.

Això ho podem veure en qualsevol de les formes en que pot venir donada una funció. En forma de taula.

x-123589
f(x)3-51320

Observa que el 3 té dues antiimatges, el -1 i el 5. Llavors f 1 li assignaria, al 3, dues imatges i per tant no seria funció. Diem que f no té inversa, f 1. El mateix passa en les següents situacions:

g(x)={(1,9),(2,13),(3,15),(4,15),(5,12),(6,10)} imatge
g 1 h 1

Són especialment interessants els casos en que la funció ens la donen en forma de gràfic o de fórmula. Els analitzem conjuntament.

Donada la funció f(x)=x 2. En intentar trobar la inversa fem: y=x 2x=±yy=±x i això ja ens indica que f 1, qualsevol x + tindria dues imatges i això no pot ser.

Analitzem-ho ara gràficament. Saps molt bé que el gràfic de la funció f(x)=x 2 és la paràbola següent, i el gràfic de la inversa hauria de ser el que veus, però ... clar, no seria funció!!

La idea és la següent: si es pot dibuixar alguna línia recta horitzontal que talli el gràfic de la funció f en més d'un punt, llavors la funció f no té inversa. És a dir, f 1.

Dit d'una altra manera, si totes les línies rectes horitzontals que es poden dibuixar tallen el gràfic de la funció f com a màxim en un punt, llavors la funció f té inversa. És a dir, f 1.

Però les funcions que no tenen inversa podem desfer-les en trossos de manera adequada per tal que en cada tros sí que tinguin inversa. I, com ho fem això de fer trossos d'una funció? Doncs, restringint el domini. Agafant una part només del domini inicial de la funció. És per això que aquestes inverses s'anomenen inversa parcial o inversa local .

En el cas de la funció anterior f(x)=x 2 faríem el següent:

imatge imatge
g 1 h 1



  1. Concepte de funció.
  2. Domini i recorregut d'una funció
  3. Funcions algèbriques
  4. Operacions amb funcions (En obres)
  5. Funció composta (En obres)
  6. Funció inversa

funcions i operacions amb funcions.
: , interactive mathematics, interactive math, server side interactivity

The most recent version